undefの各コンテキストにおける振る舞いについて
この記事におけるperlのバージョンは5.18.0,
式の評価などは特に指定のないときperl対話シェルのReply*1上で行っているものとします。
未定義値undefははスカラ値です。
undefは単純なスカラコンテキストにおいてスカラ値undefを返します。
120> scalar undef $res[85] = undef 121> undef $res[86] = undef 122> my $a = undef $res[87] = undef 123> $a $res[88] = undef
またよく知られるようにブール値コンテキストにおいてundefが渡るときそれは必ず偽を返します。
134> (undef) ? 1 : 0 $res[92] = 0 135> if(undef){ 1 } else { 0 } $res[93] = 0 136> unless(undef){ 0 } else { 1 } $res[94] = 0
ここまではよく知られたundefの挙動です。
さてそのundefをいろいろ虐めてみたところこいつは結構怪しい挙動をすることがわかったのでここに記しておきます。
さて、上の例でスカラコンテキストにおいてundefはundefと書きました。これは厳密には不定コンテキストにおいてのみundefはundefとして振る舞うのです。
比較などにおいて特に数値コンテキスト、文字列コンテキストとしてundefが評価される時、数値コンテキストにおいては0,文字列コンテキストにおいては''(空文字列)として振る舞います。
144> 0 == undef $res[101] = 1 145> '' eq undef $res[102] = 1
ただしここで
148> '' == undef $res[105] = 1 #true 149> 0 eq undef $res[106] = '' #false
となかなかに不可解な動作をしますがこれは
154> ''.0 $res[110] = '0' 155> 0 + '' $res[111] = '0' 156> 1 * '' $res[112] = '0'
に見るように文字列コンテキストにおいて0が'0'として、数値コンテキストにおいて''が0として振る舞う（+, *, .はいずれも左結合な演算子）ためで、undefを責めるのはすこし可哀想です。
リストコンテキストにおいてundefを使う用事といえばこんなものが思いつきます。
190> my ($a, $b, $c) = undef $res[142] = [ undef, undef, undef ] 191> ($a, $b, $c) $res[143] = [ undef, undef, undef ]
これは左辺値のリストコンテキストをundef埋めする時によく使うものです。コードは行儀良く書かなければいけませんからね。
ところで同じリストコンテキストでも
192> my @a = undef $res[144] = undef 193> @a $res[145] = undef 194> scalar @a $res[146] = 1 195> @a[0] $res[147] = undef 196> @a[1] $res[148] = undef
と少し違った動作をしますがここで忘れてはならないのが代入演算子=は右結合であり、上にあるいずれの式においても先ずundefが先に評価されるということです。
よってこれはundefによる動作ではなくスカラコンテキストにおける配列構造の性質であると捉えるべきです。
思い出してください。($a, $b, $c)は明らかにリストですが、@SOME_ARRAYは配列です。
269> @a = (4, 3, 2, 1) $res[207] = [ 4, 3, 2, 1 ] 270> scalar @a $res[208] = 4 271> scalar (4, 3, 2, 1) $res[209] = 1 272> (1, 2, 3) == (3, 2, 1) $res[210] = '' 273> (2, 1, 3, 2) == (1, 2) $res[211] = 1
つまり何を言いたいかといえば上の($a, $b, $c)の例だけを見て
249> ($a, $b, $c) $res[191] = [ 1, 1, 2 ] 250> ($a, $b, $c) = () $res[192] = [ undef, undef, undef ]
「と同じだ！そうか、リストコンテキストにおいてundefは空リストと同じだ！」などという早とちりをしないようにしようということです。
スカラコンテキストでundefが評価されると直接undefが渡るからスマートマッチングで'' ~~ undef, 0 ~~ undefは共にfalse、でもリストコンテキストを期待するときには空リスト扱いになるから() ~~ undefはtrueなんだな
前述のとおり代入演算子=は右結合なのでリスト代入の時本来は左辺値であるリストの方がスカラとしての振る舞いを持つのですが、これは取りうる全てのパターンにおいて
配列またはリスト = undef
が
配列またはリスト = @{ [undef] } => (undef)と等価に振る舞うと見て差し支えないはずです。
そのため
274> @a = undef $res[212] = undef
のとき@a = (undef)であり
275> defined @a $res[213] = 1
は真を返します。これは直感的でありません。
配列@ARRAYに対するdefined @ARRAYが偽を返すのは
- my @ARRAY;のように単純に宣言されたとき
- undef( @ARRAY )が明示的に呼ばれたとき
のみで
@ARRAY = (undef)やdefined @ARRAYが真の後@ARRAY = ()を実行してもdefined @ARRAYは真を返します。
ただし上記の状態defined @ARRAYが偽の状態から@ARRAY = ()のように内部で無視される式を実行してもdefined @ARRAYは偽であったため、defined @ARRAYはメモリの状態を参照している物と考えられます。
このへんのundefの挙動って把握してないとちょっと複雑なデータ構造でギミックなことをしようとしたときドツボにはまりかねないですね。
僕としてはundefを含む式の評価は全て偽、と言うかそんなものは多く意味を持たないことが多いと思うので全部undefを返して欲しいものです。
文字列コンテキスト、数値コンテキストのundefの挙動と配列評価のときなんかで一貫して「未定義値」というfalseでないと困ることって多いと思うんですけどね。undefはあくまで実行の初期段階における内部的な振る舞いしか想定しておらずユーザレイヤでギミックな使い方をするのは想定されていないんでしょうか…
殊に、文字列コンテキストと数値コンテキストのあの挙動は少々頂けないです。
本当はこの後にスマートマッチングの悪口を書くつもりだったのですがこれ以上はエントリがごちゃごちゃしそうなので別エントリにて書こうと思います。
スマートマッチングは割と好きなので気は進みませんが… 5.18.0でexperimentalになった理由が少しは実感できたような…？
Sherman-Morrison-Woodburyの公式 (Schur補行列)
行列の積に関する逆行列の公式にSherman-Morrison-Woodburyの公式または単にWoodburyの公式があります。
Sherman-Morrison-Woodburyの公式
正則行列 \(\mathrm{A} \in M(n, n), \mathrm{B} \in M(n, m)\)と行列\(\mathrm{C} \in M(m, n), \mathrm{D} \in M(n, n)\)は次式を満たす。
\[
\left( \mathrm{A} + \mathrm{B} \mathrm{D} \mathrm{C} \right)^{-1} =
\mathrm{A}^{-1} - \mathrm{B} \left( \mathrm{D}^{-1} + \mathrm{C} \mathrm{A}^{-1} \mathrm{B} \right)^{-1} \mathrm{C} \mathrm{A}^{-1}
\]
この公式について本には「証明は省く」だとか「両辺に\(\left( \mathrm{A} + \mathrm{B} \mathrm{D} \mathrm{C} \right)\)を掛けて確かめてみよ」とかしか書いておらず、『証明しなきゃ使っちゃダメ』理論によると証明しないで公式を使うと怖い先生にタバコを投げつけられるのでここに証明します。
またSchur補行列によるブロック行列の逆行列の補題からのアプローチを用いて証明したのでせっかくなのでそっちも示しておきます。
Lemma.ⅰ : Schur補行列
任意の正方行列\(P\)に対し次のような2x2区分行列への変換を行う。
\[
P = \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right]
\]
ここでAは正則にとられているものとする。この時\(P\)の逆行列\(P^{-1}\)は
\[ P^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} A^{-1} + A^{-1} B S^{-1} CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{array} \right]
\]
ただし\( S := D - CA^{-1}B \)であり、これを部分行列Aに対するSchur補行列という。
同様にDを正則にとるとき、\(P^{-1}\)は
\[
P^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} S^{-1} & -S^{-1}BD^{-1} \\ -D^{-1}CS^{-1} & D^{-1}+D^{-1}CS^{-1}BD^{-1} \end{array} \right]
\]
ただし\(S := A - BD^{-1}C \)であり、これは部分行列Dに対するSchur補行列である。
証明ここから
\(P\)を同型の区分行列に分割し、そのLDU分解を考える。
\[
P = \left[ \begin{array}{cc} I & O \\ W & I \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} X & O \\ O & Y \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} I & Z \\ O & I \end{array} \right]
=: LDU
\]
さて、Lの逆行列について考えよう。L行列に対して同型の区分行列の形で逆行列\(L^{-1}\)が存在するとき、
\[
L^{-1} := \left[ \begin{array}{cc} S & T \\ U & V \end{array} \right]
\]
とおく。\(L^{-1}\)について
\[
L L^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} I & O \\ W & I \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} S & T \\ U & V \end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{cc} S & T \\ WS + U & WT + V \end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{cc} I & O \\ O & I \end{array} \right]
\]
が成り立ち、要素の対応から\(S = I, T = O, U = -W, V = I\)
これより以下の系が導ける。
Corollary.ⅰ
任意の区分L行列に対し
\[
\left[ \begin{array}{cc} I&O \\ W&I \end{array} \right]^{-1}
= \left[ \begin{array}{cc} I & O \\ -W & I \end{array} \right]
\]
また\(D^{-1}\)について同様に
\[
DD^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} X&O \\ O&Y \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} S&T \\ U&V \end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{cc} XS&XT \\ YU&YV \end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{cc} I&O \\ O&I \end{array} \right]
\]
これより以下がいえる。
Corollary.ⅱ
任意の区分D行列に対し、
\[
\left[ \begin{array}{cc} X&O \\ O&Y \end{array} \right]^{-1}
=\left[ \begin{array}{cc} X^{-1}&O \\ O&Y^{-1} \end{array} \right]
\]
U行列についても同様に
Corollary.ⅲ
任意の区分U行列に対し
\[
\left[ \begin{array}{cc} I&Z \\ O&I \end{array} \right]^{-1}
=\left[ \begin{array}{cc} I&-Z \\ O&I \end{array} \right]
\]
LDU分解された\(P^{-1}\)についてその積を計算すると
\begin{eqnarray*}
P^{-1} &=& \left[ \begin{array}{cc} I & O \\ W & I \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} X & O \\ O & Y \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} I & Z \\ O & I \end{array} \right] \\
&=&
\left[ \begin{array}{cc} X &XZ \\ WX &WXZ + Y \end{array} \right]
\end{eqnarray*}
\(P\)の要素との対応から
\[
\left\{ \begin{array}{l}
A = X \\
B = XZ \\
C = WX \\
D = WXZ+Y
\end{array} \right.
\]
\(A\)は正則であることを用い変形すると、
\[
\left\{ \begin{array}{l}
W = CA^{-1} \\
X = A^{-1} \\
Y = D-CA^{-1}B \\
Z = A^{-1}B
\end{array} \right.
\]
また\(P^{-1}\)について
\begin{eqnarray*}
P^{-1} &=& \left( \left[ \begin{array}{cc} I & O \\ W & I \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} X & O \\ O & Y \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} I & Z \\ O & I \end{array} \right] \right)^{-1} \\
&=&
\left[ \begin{array}{cc} I & Z \\ O & I \end{array} \right]^{-1}
\left[ \begin{array}{cc} X & O \\ O & Y \end{array} \right]^{-1}
\left[ \begin{array}{cc} I & O \\ W & I \end{array} \right]^{-1}
\end{eqnarray*}
Corollary.ⅰ,ⅱ,ⅲを用い
\begin{eqnarray*}
P^{-1} &=&
\left[ \begin{array}{cc} I&-Z \\ O&I \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} X^{-1}&O \\O &Y^{-1} \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc} I&O \\ -W&I \end{array} \right] \\
&=& \left[ \begin{array}{cc}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} &-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{array} \right] \\
&=& \left[ \begin{array}{cc} A^{-1} + A^{-1} B S^{-1} CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{array} \right]
\end{eqnarray*}
証明終■
Dを正則にとったときについては同様なので省略します。僕でもできるので大丈夫です。
さて、Woodburyの公式の逆行列の中身はなんだかSchur補行列に似てますね。後は一本道です。
証明ここから
\[
M = \left[ \begin{array}{cc} A&B \\ C&-D^{-1} \end{array} \right]
\]
なる区分正方行列Mを考える。ここでA,Dは共に正則である。Dに対するSchur補行列\(S = A + BDC\)を用いて、
\(M^{-1}\)を書き表すと
\[
M^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} S^{-1}&S^{-1}BD \\ DCS^{-1}&DCS^{-1}BD-D \end{array} \right]
\]
Aに対するSchur補行列\(S' = -D^{-1}-CA^{-1}B\)を用いてM^{-1}を表すと、
\[
M^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}BS'CA^{-1} & -A^{-1}BS'^{-1} \\ -S'^{-1}CA & S'^{-1} \end{array} \right]
\]
\(M^{-1}_{1, 1}\)の要素の対応から、
\begin{eqnarray*}
S^{-1} &=& A^{-1}+A^{-1}BS'^{-1}CA^{-1} \\
(A+BDC)^{-1} &=& A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1}+CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}
\end{eqnarray*}
よりSherman-Morrison-Woodburyの公式が導かれる。
証明終■
この公式はAがおっきいけれど対角行列だったりして逆行列が簡単に求まって、B、Cが疎な縦長横長の行列だったりするときに右辺の評価は左辺より簡単になるよーっていう便利なやつですね。
そうですね主に\(\mathrm{\Sigma}\)あたりに有用なんじゃないでしょうか。
perlにおけるprivateなメンバ関数
最近MooseやMouseから離れて、かみさまの祝福にあやかったコードを書いています。
そこでプライベート関数の書き方を忘れていたのでめもめも。とその過程で生まれた疑問があるのでそれについて。
さてここはperlの夢と魔法の国です。もちろんこんな邪悪なコードは動きません。
package Hoge; ~~~ private sub SecretMethod { ~~~ }
サブルーチンは全部神様の祝福を受けてblessされてしまいます。
そこでクラスメソッドの呼び出し規則の影響を受けないように無名関数のリファレンスにてこれを実現します。
素敵なコード例は以下
package Hoge; sub new { my $class = shift; return bless {}, $class; } # private method my $secret_method = sub{ #code reference print "試験始まる前と比べて体重が5kgも増えました(実話)\n"; } sub expose_secret { my $self = shift; $self->$secret_method; #秘密を暴いてやる！！ } 1; package main; use Hoge; my $obj = new Hoge::; $obj->expose_secret; # lady's secret has been exposed! # $obj->secret_method, $obj->{secret_method} .... can't call, woohoo :-D
といった具合です。乙女の秘密は守られました。
まあこの用途では隠す必要もないでしょうが、十分に入用だと思います。
この方法で生成したプライベートメソッドはむりやりblessでもしない限りインスタンス側から不可視です。一応直接呼ぶとするなら
sub new{ my $class = shift; return bless { secret => $secret_method, }, $class; } ~~ # main側 &{$obj->{secret}}; # yikes!!
ぐらい無理矢理な手段になります。まあ my $hoge = sub{ を sub hoge{にしてやれば外から見えますけどね。
とまあ、こういった具合でprivateなメソッドが書けるわけですが
「じゃあprotectedなメソッドってどうやって書くんだろう、Attribute::Protectedじゃなくこの形で出来ないのかな」
と思いまして、少し試行錯誤してわからなかったので投げます。ちょっと長くなりそうなので続きは以下。
頭の使いすぎで限界感あるのでこのIssueに関しては明日別のエントリで。
